wz


Aplikace deterministického chaosu v praxi

Chaos se objevuje u řady nelineárních systémů. Dokonce systémy jen s několika stupni volnosti, o nichž se domníváme, že jsou jednoduché, mohou projevovat složité chování, které nelze v dlouhých časových intervalech předpovědět. Avšak tento chaos se od náhodnosti zásadním způsobem odlišuje. Chaotické systémy jsou deterministické, zatímco náhodné systémy jsou nedeterministické již ze své vnitřní podstaty. Rozdíly mezi chováním obou typů systémů lze sledovat ve fázovém prostoru

Fyzika

Fyzikální aplikace zahrnují řízení tření, turbulence, laserů a plazmatu. Multimodové lasery byly jednou z prvních aplikací řízení chaosu. Použitím řízení s otevřenou smyčkou (open-loop) bylo dosaženo zdokonalení v síle radiačního záření.


900nm Multimode Laser s úctyhodným výstupním výkonem 4 W

Řízení chaosu v plasmě

Plasma je plynný stav hmoty, v níž jsou atomy nebo molekuly silně ionizovány. V plasmě důležitou roli proto hrají vzájemné elektromagnetické síly mezi kladnými ionty a volnými elektrony. Hannes Alfvén ve 40. letech 20. století ukázal, že v plasmě existuje nový typ kolektivního chování, "magnetohydrodynamické vlny". Tyto vlny hrají rozhodující roli pro chování plasmy jak v laboratoři tak v zemské atmosféře nebo v kosmu. Plasma diody jsou velmi často používány jako jednoduchý model pro nové generátory silného mikrovlnného záření např. oscilátor virtuální katody. V tomto případě model obsahuje dvě rovinné elektrody, mezi kterými je prostor naplněn nehybnými pozitivními ionty konstantní hustoty. Elektronový paprsek dané proudové hustoty, začne prostupovat konstantní rychlosti systémem přes první polopropustnou elektrodu (Obr.12). Vnitřní nelinearita paprsku/pole vzájemně ovlivňujících proces může vést systém nejen k nestabilitě, ale také k oscilacím a chaosu. Cílem je porozumět detailům těchto fyzikálních procesů a objevit podmínky převažující v prostoru mezi elektrodami, které vedou k vyhnutí (vyvarování se) či naopak k získání složitého chování.


Model plasma diody

Struktury pevného skupenství schopné omezovat nebo vypouštět fotony jsou studovány ve viditelném, infračerveném a milimetrovém vlnovém rozsahu[14]. Charakteristická nerovno-měrnost délky rozpětí v řádu milimetrů ve strukturách označována jako "foto krystaly" je od kmitočtového rozsahu GHz po nanometrické velikosti kvantových pramenů uvažována ve viditelném rozsahu. Vzájemné ovlivňování fotonu s oscilacemi plazmy je závislé na vlno-vém rozsahu.


Zpoždění vytvářející konstrukci plasma atraktoru

Výkonové spektrum plasma signálu

Kruhy indikující stroboskopický povrch daného úseku v časovém intervalu Δt = 260μs, nezhuštěná plasma. Na pozadí je vidět atraktor

Zhuštěná plasma

Kruhy indikující stroboskopický povrch daného úseku v pevném časovém intervalu T = 6,088 nezhuštěný Rosslerův systém
Zhuštěný Rosslerův systém

Chemie

Chaotické oscilace v chemických reakcích byly objeveny v 70.letech 20.století (Bělousov-Žhabotinského reakce). Cíl řízení je formulován jako dosažení reakce ustálení, což znamená potlačení chaotických oscilací, nebo excitace oscilačního nebo dokonce chaotického režimu. Chaotické chování je žádoucí například pro spalování, protože zvyšuje pohyb směsi paliva a vzduchu, což má za následek zrychlení celého procesu. Protože chaos vede k lepšímu míchání, reakce je často více jednotná a proto je produkt méně znečištěn.


Bělousov-Žabotinského reakce

Rezonující řízení chaosu světlem v chemiluminiscentní Bělousov - Žhabotinského reakci s katalýzou směsi ceria - ruthenia je popsáno v tomto článku. Řízení spočívalo ve změně toku světla. Na experimenty byl použit chemický reaktor s nepřetržitým mícháním (CSTR). Tok světla by dán formou sledu "obdelníkových" pulsů.

Experimenty používající komplexní řízení otevřené smyčky (open loop) včetně chaotických oscilačních elektrochemických procesů demonstrují to, že vybráním vhodné frekvence vnějšího napětí, mohou ne jen vytvářet chaotický proces periodický, ale také ovlivnit dynamiku pravidelných oscilací.

Lékařství

Dá se říci, že čím má nějaký systém blíže k životu, k živým organismům a lidem, tím spíše na něm nalezneme známky nepravidelnosti, neperiodičnosti a vůbec nepředpověditelnosti. Hlavním důvodem je fakt, že živý organismus se musí rychle adaptovat na měnící se životní podmínky a musí maximalizovat schopnost svého přežití. To by nedokázal, kdyby stále se-trvával ve snaze po jednoduché stabilitě. Ostatně největší stabilitou se vyznačuje stav na-prostého klidu - což je v případě živého organismu smrt.

Elektrická léčba epilepsie aneb teorie chaosu v neurovědách

V jednom z vydání The Journal of Neuroscience se objevil zajímavý článek s názvem "Adaptivní kontrola epileptických záchvatů elektrickým polem". Autoři zapojili řezy mozkové tkáně do zpětnovazebného elektrického obvodu, který rozpoznal v řezech uměle vyvolanou epileptiformní aktivitu a dokázal ji zastavit aplikací slabého elektrického pole. Podobný princip by se dal využít v léčbě lidské epilepsie.
Elektrické chování vzájemně propojených neuronů v mozku je příkladem nelineární dynamiky, stejně jako např. některé elektronické obvody, planetární systémy, ale i kapající kohoutky. K popisu těchto komplexních jevů nelze použít klasickou matematiku a fyziku. Je třeba se uchýlit k teorii chaosu a nelineární dynamice. Ukazuje se, že komplikované a zdánlivě nesouvisející systémy vykazují velmi podobné vzorce chování, které nejsou ani zcela náhodné, ani zcela pravidelné. Popis chování těchto systémů je významný pro jejich pochopení a možnost ovlivnění. Vědci se pokoušejí získat pravidelnost z chaosu, např. právě elektrickou stimulací mozku, která přeruší epileptické výboje.


Neurony

Unikátním aspektem popsaného experimentu je získání zpětné vazby přímo ze tkáně. Epileptický záchvat je vyvolán elektrickou aktivitou. Ta zapne elektrické pole, které vrátí čin-nost neuronů do normálního stavu. Elektrická aktivita každého z mnoha neuronů, které se podílejí na vzniku epileptického záchvatu, je komplikovaná a obtížně pochopitelná. Při záchvatu se však neurony začnou chovat synchronně. Celkový výsledek synchronní aktivity je mnohem snadněji pochopitelný a popsatelný než chování každého individuálního členu takto složitého systému. To umožňuje vědcům snáze systém poměrně jednoduchý zásahem vrátit do původního stavu. Možnost ovládat složité systémy bez pochopení jejich jednotlivých komponent je doménou a přínosem nelineární dynamiky.


Trojrozměrný neuron attractor

Podobné zpětnovazebné okruhy by se daly využít při léčbě fokální epilepsie. Ta se často řeší resekcí epileptického fokusu. Možná by místo toho stačilo umístit drobné elektrody na povrch mozku nebo do komor. Podobné přístroje jsou již ve vývoji a neurochirurgové by je rádi začali v příštím roce testovat v klinických experimentech u lidí.


Trojrozměrný diagram prostoru EEG

Mozek - nejsložitější a nejorganizovanější hmotu ve známem vesmíru, složenou z miliard neuronů, z nichž každý vytváří tisíce synapsí, rozhodně nepůjde zkrotit a predikovat jednoduchými lineárními vzorci klasické Galileovské a Newtonovské matematiky a fyziky. Teorie chaosu by mohla být výrazným přínosem pro kognitivní neurovědy a zejména psychiatrii, jejímž předmětem zájmu jsou právě nejkomplikovanější, v mozku značně distribuované a vzájemně složitě interagující systémy řídící emoce, myšlení, vnímání.



Umělá neuronová siť

Srdce

Dynamika srdečního svalu a jeho chaotické pohyby (fibrilace), které byly řešeny povětšinou metodou pokus-omyl, se nyní zkoumají právě pomocí prostředků teorie chaosu, neboť bylo prokázáno, že nástup chaotických pohybů se děje přesně podle předpovědí Michela Feigen-bauma. Nerozlišuje se také tolik druhů poruch srdečního rytmu, ale zahrnují se do různých projevů nástupu chaosu. Proto také odstraňování (a ještě spíše prevence) těchto chaotických stahů srdečních svalů je třeba řešit pomocí teorie chaosu (takže např. EKG se nyní zkoumá prostředky fraktálové geometrie).


EKG diagram

Taktéž při tvorbě umělých srdečních chlopní je třeba uvažovat o nelineární dynamice (a tudíž chaotických atraktorech) krve v krevním řečišti, protože tvar cévy se mění s okamžitým tlakem krve a i jinak se pohybuje krev nelineárně. Ovšem srdce není jediný orgán v lidském těle. Pomocí metod teorie chaosu se zkoumají psychické poruchy, pohyby oka při schizofrenii a mnoho dalších jevů. Další částí zkoumání jsou biologické hodiny, nemoc z přestupu časových pásem atd. Samozřejmě citlivá závislost na počátečních podmínkách nahrává tomu, že se začíná v mnohem větší míře prosazovat systematický (celkový) přístup k pacientům.

Biologie

Pohyb ryb v hejnu

Pohyb každé jednotlivé rybky není nutné popisovat samostatně, protože každá rybka se řídí třemi jednoduchými lokálními pravidly: soudržnost hejna, zařazení a oddělení. Každé z těchto pravidel má svůj biologický význam, proto je model značně věrohodný. Překvapivé je, jak realistické a komplikované kolektivní chování z těchto tří jednoduchých pravidel vychází. Neexistuje žádný vůdce hejna a neexistuje žádný globální plán pohybu nebo perspektiva (pohyb rybek na počátku není nijak zorganizován). Tento jednoduchý příklad je příkladem samoorganizace. Další příklady lze nalézt v kolektivním chování lidí nebo na akciovém trhu viz.níže.

  

Kolonie baktérií

Při pohledu na nějaký snímek kolonie baktérií je možné vidět rozvětvenou strukturu, jejíž každá část při zvětšení vypadá podobně jako celek. Kolonie baktérií je příkladem náhodného fraktálu. Přesné fraktály vypadají zcela stejně při libovolném zvětšení, zatímco ná-hodné fraktály se při zvětšení statisticky podobají. Fraktální struktura je každá samopodobná struktura v různých měřítcích velikosti.


  

Mechanické systémy

Dvojité kyvadlo

Jednoduché kyvadlo se skládá z malého těžkého předmětu, připevněného na konec lehké tyče. Pro malé kmity (bez existence tření) se kyvadlo chová jako harmonický oscilátor. Perioda tohoto pohybu je úměrná druhé mocnině délky kyvadla. Pro velké kmity je pohyb kyvadla sice ještě periodický, ale již neplatí jednoduchý vztah. Pro velké kmity jsou rovnice pohybu kyvadla nelineární na rozdíl od lineárních rovnic pro malé oscilace. Protože rovnice pro velké kmity jsou nelineární, nelze pohyb kyvadla předpovídat. Dvojité kyvadlo se skládá ze dvou jednoduchých kyvadel, kdy jedno kyvadlo je připojeno na konec druhého kyvadla. Rovnice pohybu dvojitého kyvadla pro velké kmity jsou nelineární, a pohyb je zcela nepravidelný a velmi citlivý vůči počátečním podmínkám.

Elektronické systémy

Chuův obvod

Jedná se o dva rezonanční obvody s tím, že první z nich je klasický paralelní LC oscilátor a druhý je RC oscilátor s nelineárním odporem mezi nimiž je vodivost G (G=1/R) což je řídicí parametr tohoto obvodu.


Celkové schéma zapojení Chuova obvodu

Chuův atraktor

Komunikační systémy

V poslední době nabývají na významu systémy využívající chaos a různé aplikace využívající nelineární dynamiky. Chaotické signály se pro přenos informace používají ze dvou hlavních důvodů. Jedním z nich je ukrytí informace v chaosu. Tato aplikace nahrazuje konvenční šifrování. Druhým důvodem je to, že chaotické signály mají velmi široké spektrum, což je velmi výhodné pro víceuživatelské aplikace. Proč se začalo zkoumat využití chaotických signálu v komunikacích? Původní myšlenka byla namodulovat informaci na chaotický signál, tak aby byla dostupná jen pro autorizovaného uživatele. Přijímač odstraní chaotickou složku a obnoví původní informaci.Kdokoliv, kdo zachytí vysílané signály, uvidí jen šumový, chaotický signál, ze kterého jen obtížně obnoví původní informaci. Zde se rýsuje velký prostor pro různé šifrovací metody,které mohou být vyvinuty. Druhá myšlenka má původ v širokopásmové komunikaci (Ultrawide Band Communications, UWB), kde se používají pseudonáhodné signály pro zvětšení frekvenčního pásma. Důvodem používání těchto systémů je omezení interference signálů z jednotlivých zdrojů a také omezení vlivu zpožděných signálů v bezdrátové a mobilní komunikaci.

Modulování chaotického signálu

Modulování v klasickém komunikačním systému má za úkol sloučit nízkofrekvenční infor-mační signál s vysokofrekvenčním signálem nosným, který přenese informaci do pásma vhodného pro přenos. Při modulaci využívající chaos můžeme využít dva různé přístupy. V prvním přístupu je modulátorem samotný chaotický systém, který je vhodným způsobem ovlivňován informačním signálem. Tato metoda má výhodu, že je jednoduchá a výkonově úsporná, ale na druhou stranu je složité realizovat vysokofrekvenční chaotický systém. Tento způsob je vhodný pro výzkum, nikoliv pro praxi.
Ve druhém přístupu je smíchán chaotický signál s informačním na nízké frekvenci, a pak transformován tradičním modulátorem na vysokou frekvenci. Blokové schéma je na obrázku . Výhodou je snadná realizace chaotického modulátoru a demodulátoru, ovšem za cenu větší složitosti a energetické náročnosti.

Chaotické maskování (chaotic masking)

Chaotické maskování spočívá ve smíchání informačního signálu s chaotickým a jeho obno-vení synchronizací. Ve vysílači a přijímači jsou umístěny totožné chaotické systémy a syn-chronizace je dosaženo tak, že přijímač je řízen přijímaným signálem. Synchronizací se produkuje signál ^y(t), který je podobný čistě chaotickému signálu y(t) ve vysílači. Proto můžeme informační signál s(t) získat zpět pouhým odečítáním výstupního signálu synchronizace od přijímaného signálu. Nicméně tento systém pracuje pouze tehdy, když je informační signál vůči chaotickému zanedbatelně malý, takže ho změní jen málo. Je zřejmé, že šum v kanále znemožní obnovení informace, a proto tento způsob není často používán.

Chaotické klíčování (chaotic shift keying, CSK)

V této metodě moduluje informační signál nějaký parametr chaotického systému. V nejjed-nodušším případě je informační signál binární a řídí přepínání mezi dvěma vektory paramet-rů p a p´. Bit je reprezentován chaotickou křivkou určité délky. V původním návrhu metody je bit detekován tak, že se snažíme přicházejícím signálem synchronizovat oba systémy, je-den s vektorem parametrů p a druhý s vektorem parametrů p´. Jakmile se jeden systém syn-chronizuje tak tím indikuje přijímaný bit.
Dosud bylo navrženo mnoho metod chaotického klíčování. Nejednodušší metoda spočívá ve změně výstupní funkce v závislosti na přenášeném bitu jde o tzv. Chaos antipodal coding b(t).

Diferenční chaotické klíčování (differential chaos shift keying)

Tato metoda (DCSK) byla vyvinuta pro odstranění synchronizace vysíláním nemodulovaného signálu společně s modulovaným. Přesněji, při odeslání jednoho bitu se chaotickým systémem vygeneruje signál stanovené délky a ten je vyslán do přenosového kanálu.V případě že je přenášena "1" je za ním vyslána jeho kopie. V případě že je přenášena "0" je za ním vyslána jeho kopie sečtená s -1. V přijímači se pro získání informace obě části porovnají. V této metodě se nevyužívá pro demodulaci žádná vlastnost chaosu, proto mohou být použity jakékoliv signály. Nevýhodou této metody nutnost použití zpožďovacích členů a spínačů, což vede k potížím při realizaci. Kromě toho je polovina času použita pro vysílání referenční křivky. Na druhou stranu je to nejúčinnější metoda v komunikaci využívající chaos, nicméně je stále horší než BPSK. Byly navrženy modifikace této metody a to CDSK (correlation delay shift keying) a SCSK (symmetric chaos shift keying) a mnoho dalších.



Operace v DCSK a)vyslílač; b)přijímač

Signál chaotické DCSK

Komunikace založená na chaosu je nová disciplína, proto ještě nedosahuje takových výsled-ků jako klasické metody. Je také otázkou, zda existují určité teoretické limity, které není možné překročit.

Informatika

Fraktální geometrie

Pravděpodobně největší uplatnění má fraktální geometrie a fraktály v počítačové grafice. S rozvojem grafických schopností počítačů se stále více ukazovalo, že je zapotřebí objevit nové postupy, jak modelovat přírodní objekty. V principu jsou možné tři různé způsoby zadávání dat pro modely.

Prvním způsobem je modelování objektů animátorem. Pro tento způsob se dlouhou dobu vytvářely modelovací programy typu CAD a CAM. V případě modelování technických a geometrických předmětů je tento způsob ideální. Problém nastává v případě, že chceme modelovat nějaký složitější přírodní objekt, například hory nebo stromy. Množství vytvářených dat je obrovské a vynaložená práce většinou neodpovídá kvalitě a věrohodnosti výsledku.

Druhým způsobem je přímé snímání (skenování) daného objektu. Tato metoda má své uplatnění, ale není výhodná ve všech případech. Prostorové (trojrozměrné) skenery jsou drahá zařízení, která mají omezenou rozlišovací schopnost. Také jsou schopny skenovat pouze objekty určité velikosti a struktury. Například skenování hory či stromu je nemožné. Také objekty, které mají velkou členitost, je obtížné skenovat (hlava člověka s vlasy). Množství výstupních dat, která vycházejí po naskenování, je obrovské, protože je objekt reprezentován malými trojúhelníčky. Proto se tato metoda používá jen pro určitý okruh problémů a je vyhrazena jen CAD pracovištím, která mají možnost si toto drahé zařízení pořídit.

Třetí způsob spočívá ve využití takzvaného procedurálního modelování. Animátor nezadává přímo tvar objektu, ale způsob, jakým bude objekt generován. Tato metoda má tu přednost, že objem zadávaných dat je většinou malý a výsledný objekt lze modifikovat změnou počátečních podmínek (tak lze vytvářet zajímavé animace, jako je například růst stromů). Nevýhodou je nutnost výběru správné metody pro generování určité množiny objektů a také nut-nost pochopit, co který parametr znamená a jak se projeví na výsledném tvaru objektu. Při vytváření objektu (zadávání parametrů) není přímo vidět výsledek, pracuje se tedy metodou pokus-omyl.

Při procedurálním modelování se mimo jiné používají i fraktály. Fraktály lze v počítačové grafice využít například ke generování přírodních útvarů, jako jsou stromy, rostliny, hory, mraky, kameny atd. V této oblasti neexistuje lepší způsob, který by dával věrohodnější výsledky.

Fraktálová komprese obrazu

Kromě snadného definování velmi složitých přírodních útvarů mohou být fraktály využity i v jiných vědeckých disciplínách. V poslední době se stále více využívá fraktální komprese, která je založena na IFS fraktálách[. Komprimační program se snaží nalézt v obrázku fraktální strukturu a pomocí ní definovat celý obrázek. Tento způsob komprese je samozřejmě ztrátový a poměrně náročný na nalezení vhodných transformací popisujících daný obrázek. Výhodou je však velmi vysoký stupeň komprese (v příznivém případě je možné popsat celý obrázek pouze pomocí několika funkcí).

Ekonomie

Kapitálové trhy

Finanční teorie byla samozřejmě rovněž ovlivněna vlnou zájmu o teorii chaosu. Zejména v první polovině devadesátých let se hlavně na americkém knižním trhu objevila řada publikací s tituly jako Vyděláváme pomocí chaosu a podobně. Poté tato vlna zájmu poněkud opadla, protože se ukázalo, že na těchto knihách vydělali především jejich autoři. Dramatické události na měnových a kapitálových trzích v roce 1997 však představují celou sérii učebnico-vých příkladů fungování teorie chaosu v praxi. Protože se chaotické jevy na finančních trzích skutečně odehrávají a často mají velký význam, je dobré o nich něco vědět.

Chaotický model akciového trhu

Podívejme se proto na možnosti výskytu chaotických procesů na akciovém trhu. Nejprve zaveďme několik předpokladů:
1)Trh je dokonale efektivní, což znamená, že ceny akcií se okamžitě přizpůsobují novým úrovním vnitřní hodnoty ihned, jakmile se vnitřní hodnota mění v důsledku pů-sobení nových infobrrmací.
2)" Účastníci trhu mají averzi vůči riziku, což znamená, že trh vyžaduje diskont (slevu) za riziko. Výše tohoto diskontu bude úměrná výši rizika.
3)" Existuje více různých měr rizika, z nichž pro jednoduchost budeme brát v úvahu pouze historickou volatilitu.

Stránky ještě nejsou kompletní co do obashové části.


Nahoru


Michal Hladik © 2006