wz

George Cantor

Otec Georga Cantora původem z Dánska, byl úspěšným obchodníkem v Petrohradě. Matka byla Ruska a syna vedla především k hudbě, takže mladý Georg se stal skvělým houslistou. Do školy začal chodit v Petrohradě, ale když mu bylo jedenáct, rodina se přestěhovala do Německa. Otec, který si stále stěžoval na drsné petrohradské počasí, doufal, že se v teplejším středoevropském podnebí zbaví svých zdravotních potíží. Cantor s nostalgií vzpomínal na dětství strávené v dalekém Rusku a nikdy se zcela nenaučil němčině, i když v Německu zůstal natrvalo. Studoval nejprve na reálném gymnáziu v Darmstadtu a od r. 1862 na polytechnické škole v Curychu, kde projevoval nadání v matematice, především v trigonometrii. Roku 1863 umířel jeho otec. Cantor přešel na univerzitu do Berlína a tam r. 1866 promoval. Přednášeli mu Weierstrass, Kronecker a Kummer. Pod jejich vlivem se zaměřil na teorii čísel a teorii funkcí. V roce 1869 se habilitoval na univerzitě v Halle, kde působil až do konce života.
Cantor konstruoval množinu reálných čísel na základě svého studia Fourierových řad. Kromě toho udělal Cantor ten neobyčejný záslužný čin, že úlohu pojal šířeji, zkoumal vlastnosti podmnožin reálných čísel a postupně vytvořil tzv. teorii množin. Jeho teorie je intuitivní, neboť předpokládal, že se ví, co je to množina, a nepodal žádnou axiomatickou teorii. Ve své teorii dospěl k několika zdánlivě paradoxním výsledkům a tím vyvolal bouřlivou diskusi - začaly se zkoumat samotné základy teorie, jako je pojem množiny, přirozeného čísla a přípustnost některých logických úvah, v podstatě samotné základy matematiky. Tak byly položeny základy k axiomatickým teoriím. Cantor je jedním z prvních, kteří zavedli do matematiky další rys - abstrakci, která výrazně odlišzuje matematiku 19. a 20. století. V roce 1878 publikoval Příspěvek k teorii množin.
Cantor viděl, jak s přibývajícími vědeckými pracemi dochází k rozdrobování matematiky do specializovaných odvětví, a pokusil se svou teorií množin matematiku znovu sjednotit. Obecně množinou můžeme rozumět hromadu jablek nebo hřebíků, ale Cantor myslel především na množinu čísel a snažil se určit její vlastnosti a vymezit ji oproti jiným množinám.
V r. 1873 zveřejnil pozoruhodný článek, ve kterém popsal neuvěřitelnou věc: existují různě velká nekonečna. To se očividně příčí zdravému rozumu - nekonečno je prostě nekonečno a nemůžeme ho nijak spočítat ani určit jeho velikost. Až do 19. století matematici popírali existenci něčeho takového jako skutečné nekonečno. Karl Gauss považoval pojem nekonečno za pouhou manýru naší řeči, a jiný matematik prohlásil nekonečno za ohavnost. Cantor však rázem vše změnil. Začal brát nekonečno jako kteroukoli jinou matematickou veličinu a dokázal, že lze různé nekonečné množiny navzájem porovnávat (srovnávat počet jejich prvků neboli mohutnost množin).
Takové porovnání skutečně provedl pro množiny různých čísel a ukázal, že mohutnost množiny celých čísel (např. ...-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) je stejná jako mohutnost množiny racionálních čísel (čísla celá plus zlomky). Zato mohutnost množiny všech reálných čísel (všechny body číselné osy) je větší! A poté Cantor položil vzrušující otázku: Existuje nějaká nekonečná množina, jejíž mohutnost se nachází mezi racionálními a reálnými čísly? Cantor se domníval, že žádná taková množina neexistuje, ale nebyl schopen podat důkaz. Spolehlivý důkaz nemáme dodnes, a proto mluvíme o hypotéze kontinua. (Název vychází z faktu, že reálná čísla tvoří kontinuum - souvisle pokrývají celou číselnou osu.)
Cantorovu teorii nekonečných čísel ostře napadli téměř všichni jeho kolegové. Citlivý Cantor nedokázal dlouho vzdorovat odmítavému stanovisku odborné veřejnosti a v květnu 1884 se nervově zhroutil. Kromě neshod s dřívějšími přáteli, kteří nedokázali pochopit jeho geniální teorie, jej sužovala myšlenka, že není s to potvrdit ani vyvrátit svou hypotézu kontinua. Z jeho deníkových záznamů se dovídáme, že několikrát měl již řešení na dosah ruky, ale pak poznal svůj omyl. Z myšlenky se stávala posedlost, která byla příčinou jeho dalších depresí. Ještě v r. 1897 otálel s otištěním článku o nekonečných či - jak je nazýval - transfinitních číslech jen proto, že doufal, že do něj bude moci vtělit důkaz své hypotézy kontinua.
Cantor se pokoušel odreagovat a od r. 1896 publikoval literárně teoreiické statě o době vlády královny Alžběty. Zastával teorii, že Shakespearova dramata napsal jeho současník, myslitel a filozof Francis Bacon, který si jako státník nemohl dovolit hry uvádět pod vlastním jménem. Poslední roky života Cantor strávil v bídě válečného Německa. Roku 1917 byl převezen do sanatoria, kde krátce nato zemřel na srdeční infarkt.
Cantorovo mračno (diskontinuum) Jedná se patrně o nejjednodušší IFS fraktál. Vychází z úsečky. Na ni iterativně aplikujeme jen jedno pravidlo - rozdělíme úsečku na tři části a vyjmeme tu prostřední.


Díky Cantorovu mračnu prý B. Mandelbrot odstranil šum na telekomunikačních linkách firmy IBM. Tehdy patrně ještě netušil že DH=log(2)/log(3)=0.6309.




Nahoru


Michal Hladik © 2006