wz


Popis deterministického chaosu

Pod pojmem chaos se všeobecně rozumí takové chování, které je projevem absolutní a čisté náhody, není v něm tedy místo pro působení zákonitostí. Takovéto chování by bylo možno nazvat absolutně nekoherentní, kdy neexistují zákonité vazby mezi sousedními stavy (jak v prostoru tak v čase). Chaotické chování skutečných systémů v přírodě však charakterizuje termín "deterministický chaos". Jedná se o proces samoorganizace složitých systémů, kdy vznikají soustavy koherentních struktur chovajících se v souladu s přírodními zákony. Z hlediska jedné určité struktury má vývoj systému prvky náhodnosti, systém jako celek se však vyvíjí zcela zákonitě a tedy deterministicky. Tento jev lze nalézt v přírodních systémech všech možných forem - od fyzikálních, chemických (např. chemické reakce), ekonomických (např. Elliotova vlna na kapitálových trzích), tak i v biologických systémech (např. chování kolonie mravenců).

O některých projevech chaosu se ví již poměrně dlouhou dobu, většinou však byly v minulosti považovány za neužitečnou anomálii a proto také tabu pro výzkum. Dnes na chaos pohlížíme jako na způsob chování vlastní všem přírodním dynamickým systémům, které se nalézají dostatečně daleko od jejich statické rovnovážné polohy. Za těchto podmínek totiž vzniká zcela zákonitě chaotické chování v souvislosti s uplatněním nelinearit.

Turbulence

Typickým příkladem relativně dobře prozkoumaného systému, chovajícího se podle zákonů deterministického chaosu, je turbulentní proudění. Struktura vyvinutého turbulentního proudění je charakterizována vírovými koherentními strukturami jejichž velikost je dána jistými zákonitostmi, okamžitá poloha a orientace konkrétního víru v prostoru je však ná-hodná. Turbulentní proudění lze pozorovat při experimentech, lze jej však také modelovat pomocí numerické simulace rovnic popisujících pohyb tekutiny. Matematický model prou-dící tekutiny je dán rovnicemi bilance hybnosti, jedná se o tzv. Navier-Stokesovy rovnice spolu s rovnicí kontinuity (zachování hmoty). Navier-Stokesovy rovnice jsou parciální dife-renciální, nelineární rovnice. V každém případě se jedná o deterministický matematický mo-del. Ukazuje se však, že za určitých podmínek může dojít k extrémnímu zesilování poruch určitého charakteru v proudovém poli. Systém tedy funguje jako filtr, který některé poruchy potlačuje, jiné zesiluje. Tento proces, který je zpočátku lineární, vede po určitém čase, kdy dojde k zesílení poruch nad jistou mez, k masivnímu uplatnění nelinearit a k přechodu systému do chaotického stavu.


Turbulence

Motýlí efekt

Edward Lorenz působil začátkem 60. let minulého století na Massachusetts Institute of Technology, kde vytvořil jednoduchý matematický model zemské atmosféry, na kterém se pokoušel studovat počasí, konkrétně vynucenou konvekci v atmosféře. K simulacím použil z dnešního pohledu primitivní, ve své době však špičkový číslicový počítač, jednalo se o počítač Royal-McBee LGP-30 s 16kB paměti, který vypočetl 60 násobení za sekundu. Jeho výpočty byly s přesností na 6 platných číslic. Lorenz provedl zaokrouhlení počáteční pod-mínky na 3 platné číslice a očekával, že toto zaokrouhlení nebude mít vliv na výsledky, při-tom narazil na nestabilní chování matematického modelu. Postupně zjednodušil svůj mate-matický model, který měl původně 12 dimenzí až na známý třírozměrný Lorenzův systém z roku 1963:

Tento matematický model zachycuje základní vlastnosti konvektivního proudění atmosféry, která je zahřívána povrchem ze spodu a ochlazována z vrchu. Vzniká tak rotační pohyb částic vzduchu, kdy ohřátá částice stoupá, tím se ochlazuje a začne klesat, aby se opět zahřála a stoupala. Tento jev je známý jako Rayleigh-Bénárdova nestabilita. Okrajové podmínky jsou poněkud idealizovány: proudění v horní oblasti je považováno bez smykového napětí místo realističtější podmínky stejných rychlostí, v příčném směru je uvažována periodická okrajová podmínka místo omezení stěnami a celý případ je modelován jako rovinný místo prostorového. Schéma tohoto modelu je na obr. 9, jedná se o tzv. Reygleigh-Bénárdovu buňku, která se periodicky opakuje v příčném směru.


Dynamické systémy jsou charakterizovány limitním stavem - atraktorem, který nastává po určitém přechodovém čase, který závisí na počátečních podmínkách. Tento limitní, konečný stav může být zobrazen ve fázovém prostoru buďto jako bod - konečný stav klidu ke kterému systém spěje nebo jako limitní cyklus - uzavřená křivka, který odpovídá periodickému pohybu. Atraktor příslušející Lorenzovu systému za určitých podmínek vybočuje z tohoto konceptu, nedojde k jeho ustálení ani po velmi dlouhém čase, vzniká nekonvergující křivka.


Lorenzův "podivný" atraktor.

Tento atraktor je prvním z tzv. "podivných atraktorů" charakterizujících chaotické chování dynamického systému, který byl podroben zevrubnému systematickému zkoumání. Tento atraktor má některé vskutku podivné vlastnosti:

* Je tvořen spojitou křivkou v prostoru, která obecně začíná v jistém počátečním bodě, může však mít nekonečně velkou délku. Přitom vyplňuje jistý přesně vymezený podprostor ve fázovém prostoru, ze kterého nikdy nevybíhá;

* Nikdy neprotíná sám sebe, nekříží se ani se neopakuje;

* Má vlastnost fraktálů, tj. jeho struktura se opakuje na různých měřítkách;

* Jeho průběh v prostoru je náhodný, chaotický, nepředpověditelný.

Matematický popis

Ukazuje se, že lineární systémy jsou pouhou idealizací a ve skutečnosti žádný reálný systém nelze dokonale popsat lineárním matematickým modelem. Lineární model může pro skutečný systém platit s dostatečnou přesností pouze pro malé fluktuace výchylek, vždy však existuje jistá mez, nad kterou je chování systému nelineární. Většina systémů je však silně nelineární, linearizovaný model pro takové systémy platí pouze pro infinitesimálně malé výchylky od rovnovážné polohy. Všechny dynamické systémy vyskytující se v přírodě jsou ve své podstatě nelineární a za určitých podmínek může být jejich chování popsáno jakožto deterministický chaos. Proto je chaotické chování v přírodě tak časté.

Chaotické systémy

Chaotické systémy reprezentují třídu modelů neurčitosti lišící se od modelů stochastických. Zatímco se znalostí současného systému deterministického modelu můžeme předpovídat trajektorie budoucnosti na libovolně dlouhou dobu, u modelu stochastického nelze určit přesnou předpověď, dokonce ani pro libovolně krátký čas. Chyba předpovědi chaotického modelu roste exponenciálně a následná předpověď může být určována jen na omezenou dobu definovanou dovolenou chybou předpovědi. Procesy v chaotických modelech mají tvar nepravidelné oscilace, kde se mění jak frekvence tak amplituda. Před 20.stoletím, byly lineární diferenciální rovnice hlavními matematickými modely oscilací v mechanických, elektrických, a jiných systémech. Přesto na přelomu století bylo zcela jasné, že lineární oscilační modely nedokážou popsat nové lékařské objevy, inženýrské jevy a procesy. Základy nového matematického aparátu, teorie nelineárních oscilací, položili A. Poincare, B. Van der Pol, A.A. Andronov, N.M. Krylov, a N.N. Bogolyubov.

Nově vyvinuté metody analytické a numerické studie o systémech demonstrovaly, že chaos není v žádném případě výjimečný druh chování nelineárního systému. Zkrátka chaotické pohyby vyvstávají kdykoli jsou trajektorie systému globálně ohraničené a místně nestálé. V chaotickém systému, se i sebemenší počáteční odlišnost trajektorií postupem času stává exponenciální. Frekvenční spektrum chaotické trajektorie je spojité. V mnoha případech takové nestabilní a neperiodické oscilace lépe reprezentují procesy ve fyzikálních systémech. Zasluhuje si povšimnout, že je prakticky nemožné rozlišovat "pouhým okem" chaotický proces od periodického či téměř periodického.

Definice1:
Definice2:
.
Jinými slovy: Vývoj libovolného dynamického systému lze znázornit a popsat pomocí abstraktního prostoru stavů, který se nazývá fázový prostor. Jestliže ponecháme systém se vyvíjet, vzniká ve fázovém prostoru křivka (pokud je čas spojitý) nebo množina bodů stavů (pokud je čas diskrétní). Pokud systém ponecháme vyvíjet se dostatečně dlouho, křivka ve fázovém prostoru zvýrazňuje určitou strukturu, která se nazývá atraktor. Množina stavů, které vedou ke stejnému atraktoru, se nazývá oblast přitahování atraktoru. Pokud je atraktor tvořen uzavřenou hranicí, pak lze chování systému předpovídat na libovolně dlouhou dobu. Chaotické chování dává naopak atraktor s neuzavřenou hranicí. U nechaotických atraktorů jsou body, které byly v určité době blízko sebe, blízko sebe trvale, tedy křivky příliš nedivergují.

Stránky ještě nejsou kompletní co do obashové části.


Nahoru


Michal Hladik © 2006