wz


Řízení deterministického chaosu

Řízením deterministického chaosu se rozumí takové působení na daný chaotický systém tak, aby se z režimu chaotického dostal systém do režimu periodického či neperiodického ustáleného stavu. To je základní myšlenka řízení deterministického chaosu. Jsou zde samozřejmě ještě i opačné trendy, tzn. takové řízení, jenž by daný systém přivedlo právě do chaotického režimu. Ačkoliv to zní absurdně, je faktem že některé děje mají optimální průběh právě při chaotickém chování (např. chemické reakce).

Metody řízení

Nyní si nadefinujme chaotický systém jako příklad, na kterém budeme demonstrovat jednotlivé metody řízení. Použiji příklad prezentovaný Andrieskim a Fradkovem, nazvaný "Duffing-Holmes oscilátor" který představuje model podvodního ekosystému a je dán rovnicí:


Zadáme-li rovnici do MATLABu a nastavíme-li počáteční podmínky takto:
, můžeme spatřit, že systém je chaotický.


"Duffing-Holmes oscilátor"


Applet zobrazující průběh atraktoru "duffing-holmesovy" rovnice.


Applet je ke stažení zde.

Nyní máme matematickou představu chaotického systému. Jedná se o systém, ve kterém dané počáteční podmínky ovlivňují výsledky, které nejsou omezené časem.

Řízení s otevřenou smyčkou (open loop control - OL control)

Podle Andrievskiho a Fradkova je řízení s otevřenou smyčkou založeno na perturbaci. Perturbace je funkce času nezávislá na řízeném procesu. Princip řízení perturbací nebo "řízení signálem programu," je vytváření řídícího signálu jako časové funkce nehledě na hodnoty kontrolovaného procesu, který je založen na rozlišném chování nelineárního systému akcí předurčeného externím vstupem u(t), který může být buď jistá fyzická akce systému jako např. síla nebo pole nebo variace("modulace") nějakého parametru kontrolovaného systému. Hlavní výhoda vychází z faktu, že řídící proces je nezávislý na řízeném procesu. Tento přístup splní podmínku jednoduchosti, protože se obejde bez měření či senzorů. To je obzvláště důležité pro řízení super rychlých procesů působících například na molekulární nebo atomové úrovni, kde systémový stav nemůže být změřen (přinejmenším v reálném čase). Možnost variace dynamiky systému periodickou excitací je známa již dlouhou dobu. Například, jak bylo demonstrováno v první polovině minulého století, vysokofrekvenční excitace může stabilizovat kyvadlo v nejistém stavu. Nyní se vraťme k Andrievskiho a Fradkovu příkladu chaotického modelu "Duffing-Holmes oscilátor" a pokusme se jej řídit metodou OL-control.

V úvodu přepíšeme člen b na a získáme tak systém:


V Matlabu pak získáme následující řešení:


Řízení s otevřenou smyčkou (open loop control)

Z výsledku je jasné, že řízení není příliš efektivní, nicméně má významný kruhový efekt.

Lineární a nelineární řízení (open-plus-closed-loop -OPCL control)

OPCL řízení se skládá z otevřené a uzavřené smyčky. Uzavřená smyčka je závislá na systé-mu. Stávající systém bude vypadat následovně:

kde B je matice, pro kterou platí, že det(B) je různé od 0. Andrieskii a Fradkov sestavili následující řízení:

Zde K je čtvercová matice. Rovnice nemá význam do té doby, dokud se nezmíníme o vý-znamu dolního indexu * . Tak tedy výraz značí otevřenou smyčku (nezávislá na systému), a tvoří uzavřenou smyčku, protože je závislá na výrazu x(t).

Lineární/nelineární řízení je tvořeno jednoduše užitím lineárních nebo nelineárních funkcí řízení systému. Andrievski a Fradkov prezentovali nelineární řízení na známém Lorenzově systému:

Tento model vykazuje chaotické volání jestliže .

Přidáním parametru u do rovnice z, získáme tento výraz: .
Nastavením parametru &gamma=1 a ponechání všech ostatních získáme v MATLABu tento výsledek:


V tomto případě je řízení velmi efektivní.

Adaptivní řízení

V mnoha systémech nejsou vždy všechny řídící parametry zcela známy. V takovém případe si systém žádá adaptivní řízení, které je založeno na algoritmických statistických metodách nejmenších čtverců a maximální pravděpodobnosti odhadů.

Je velmi důležité si uvědomit, že neexistuje žádná "nejlepší" metoda řízení. To znamená, že každý systém je individuální a reaguje jinak na různé metody řízení, kdy každá má svá pozitiva ale i negativa.


Nahoru


Michal Hladik © 2006