wz


Základní pojmy

Dynamický systém

Dynamický systém je definován pomocí dynamických podmínek, které popisují změnu tohoto systému v čase. Stav systému v libovolném časovém okamžiku je potom popsán vektorem, který leží ve stavovém prostoru. Dynamické podmínky jsou většinou zadány soustavou diferenciálních rovnic, které popisují změnu stavového vektoru v čase. Změna stavu dynamického systému se děje provedením těchto diferenciálních rovnic a nahrazením starého stavového vektoru vektorem novým. Dynamický systém může být deterministický nebo stochastický (náhodný). Deterministický dynamický systém lze poměrně přesně popsat, zatímco u systému stochastického jsme odkázáni pouze na statistické vlastnosti takového systému (například střední hodnota, disperze, směrodatná odchylka, centrální moment a jiné).

Stavová proměnná

Za dynamický systém budeme považovat systém, který je popsán konečnou množinou stavových proměnných. Stavové proměnné jsou vybrané fyzikální veličiny, které svou proměnlivostí v čase jednoznačně popisují vývoj systému. To znamená, že okamžitý stav systému plně určuje jeho vývoj. Jako příklad stavových proměnných může být úhlová výchylka , úhlová rychlost a fáze budící síly .

Fázový prostor

Hodnoty stavových proměnných lze zobrazit bodem ve fázovém prostoru. Fázový prostor je lineární prostor, jehož každý rozměr reprezentuje stavovou proměnnou systému. Má tedy tolik rozměrů, kolik má daný systém stavových proměnných.

Souřadná soustava trojrozměrného fázového prostoru vybraného dynamického systému
Souřadná soustava trojrozměrného fázového prostoru vybraného dynamického systému.

Atraktor

Vývoj libovolného dynamického systému lze znázornit a popsat pomocí abstraktního prostoru stavů, který se nazývá fázový prostor. Jestliže ponecháme systém se vyvíjet, vzniká ve fázovém prostoru křivka (pokud je čas spojitý) nebo množina bodů stavů (pokud je čas diskrétní). Pokud systém ponecháme vyvíjet se dostatečně dlouho, křivka ve fázovém prostoru zvýrazňuje určitou strukturu, která se nazývá atraktor. Množina stavů, které vedou ke stejnému atraktoru, se nazývá oblast přitahování atraktoru. Pokud je atraktor tvořen uzavřenou hranicí, pak lze chování systému předpovídat na libovolně dlouhou dobu. Chaotické chování dává naopak atraktor s neuzavřenou hranicí. U nechaotických atraktorů jsou body, které byly v určité době blízko sebe, blízko sebe trvale, tedy křivky příliš nedivergují. Zjednodušeně se dá říci, že atraktor je konečný stav systému. Například pro reálné kyvadlo platí, že atraktorem je stav, kdy kyvadlo nemá kinetickou energii a potenciální energie je nejmenší, tedy kdy se přestane houpat. Naproti tomu atraktorem pohybu planety (Země) je uzavřená elipsa. Některé systémy mají podivný atraktor, vykazují chaotické chování. Všechny chaotické atraktory jsou fraktály.

Rozeznáváme tedy tři druhy atraktorů:

- Bodové
- Cyklické (kruh, osmička...)
- Podivné (nekonečné)


Atraktor

Bifurkace

Termínem bifurkace se značí jev, při kterém dochází k velkým změnám vnitřního stavu ve sledovaném systému v případě, že se vstupní parametry nepatrně změní. U některých systémů k bifurkacím (alespoň za běžných podmínek) nedochází, protože se s postupným zvyšováním či snižováním hodnot vstupních parametrů (například teploty při chemických reakcích) systém mění pouze nepatrně - ve značně jednoduchých případech se dokonce jedná o lineární závislost na vstupních parametrech. Existují však systémy, u nichž po dosažení určitých (kritických) hodnot na vstupu dochází k prudké změně vnitřního stavu. Může se například jednat o vznik turbulence v potrubí při dosažení určité rychlosti proudění kapaliny, o fázový přechod látky při změně teploty, změny magnetických vlastností materiálu po dosažení Courieovy teploty atd. Jinými slovy jde o zdvojení periody tzn. extrémní nestabilitu systému, kdy jedna situace má dvě se vzdalující řešení.

Bifurkační diagram
Bifurkační diagram.



Applet si můžete stáhnout zde.

Samoorganizace

Samoorganizace je bezesporu jedna z teorií o vzniku života na naší planetě. Současná věda totiž poukazuje na fakt, že hmota je schopna sama sebe organizovat a vytvářet struktury. Tímto způsobem bude možno vysvětlit vznik života na zemi, jako samoorganizující se proces. Je to proces, při němž organizace určitého systému roste spontánně, tedy bez ovládání prostředí nebo zásahu nějakého jiného vnějšího systému.

Uveďme na začátek příklad. Vezměme mraveniště a mravence. Samotný mravenec je jen primitivní automat, ať už se jedná o mravence posledního z posledních nebo královnu. Každý z nich dělá jen přesně specifikovanou množinu úkonů a nic víc. Některé výzkumy dokonce ukazují, že každý mravenec má pouze 43 instrukcí chování. A přesto mraveniště jako takové funguje jako perfektně řízený celek, který umí flexibilně a tudíž inteligentně reagovat na nečekané a nepřirozené podněty. Znamená to snad, že si mraveniště uvědomuje samo sebe, že si uvědomuje fakt, že je hromadou jehličí s nějakým hmyzem uvnitř? A právě jako vysvětlení tohoto se používá pojem samoorganizace.


Samoorganizace v praxi

A jak je tento pojem vysvětlován formálně? K tomu se zavádí pojem entropie, který vyjadřuje míru neuspořádanosti daného systému. Čím více je daný systém neuspořádaný, tím větší je entropie a naopak. Samoorganizace pak vzniká v systému, který se skládá z velkého množství samostatných jednotek (např. molekul, lidí), které tvoří menší systémy, mezi nimiž dochází k tokům entropie. Jinými slovy vzniká mezi částmi tvořícím celek, které se navzájem snaží ovlivnit své entropie. Dochází ke vzniku takzvaných dispativních struktur. Struktur, kde dochází k úniku energie do okolí systému, které mají dva základní rysy. Tím prvním je to, že si vždy vyměňují energii s okolím a tím druhým je fakt, že je dřív nebo později čeká smrt. U živých organismů je to smrt taková, jak ji známe a u jiných struktur, jako jsou chemické reakce, je to zánik reakce, ale v každém případě vede k ukončení samoorganizačního procesu


Dalsi priklad samoorganizace

Dimenze

De facto udává, do kolika na sebe kolmých směrů se můžete v daném prostoru vydat. Rozlišujeme topologickou, fraktální dimenzi.

Topologická dimenze

Geometricky hladké objekty, které je možné popsat klasickou Euklidovskou geometrií, mají celočíselnou dimenzi, nazývanou také topologická dimenze (před zkoumáním fraktálů si vědci vystačili právě s touto dimenzí). Pokud si celou problematiku zjednodušíme, můžeme říci, že topologická dimenze určuje počet parametrů (nezávislých proměnných), kterým lze dané těleso (resp. každý bod na tělese) popsat. Například bod má nulovou dimenzi, jelikož je sám popsán vztahem P=X (tj. konstantním vektorem) a úsečka má dimenzi rovnu jedné, neboť ji lze popsat vztahem yt=y0+kt, kde t je jediný parametr (nezávislá proměnná). Pozici každého bodu ležícího na úsečce lze vyjádřit výše uvedeným vztahem.

Hausdorffova dimenze

Objekty popisované fraktální geometrií mají dimenzi neceločíselnou. Dimenzi fraktálních objektů nazýváme fraktální dimenzí či Hausdorffovou dimenzí. Hodnota této dimenze (resp. míra rozdílu mezi fraktální dimenzí a dimenzí topologickou) potom udává úroveň členitosti daného objektu.

Eukleidovská geometrie

To, že je to základní geometrie, asi všichni víte. Je definována na nezakřiveném prostoru(D >=0). Popisuje jen tzv. geometricky hladké útvary(bod, přímka, čtverec, krychle, koule...). Je vhodná pro schématické úlohy, není schopna přeně popsat reálný svět.

Fraktál

Matematická definice tohoto pojmu zatím neexistuje. Nejblíže skutečnosti je patrně definice B. Mandelbrota: "Fraktál je takový útvar, jehož Hausdorfova dimenze je větší než dimenze topologická." To znamená, že fraktál nemá jako krychle 3, či jako přímka 1 rozměr, ale jeho dimenze je neceločíselná. To nemusí platit vždy, např.Hilbertovy či Peanovy křivky vyplňují celou rovinu. Mimo Mandelbrotovy definice existuje i tzv. obecná definice: "Fraktál je takový útvar, při jehož zvětšení dostaneme opět stejný obraz, bez ohledu na měřítko" Pro doplnění, vlastnost popsaná v této definici se nazývá invariace vůči změně měřítka.
Fraktální dimenze =Hausdorffova dimenze DH (Matematická reprezentace) de facto udává "fraktálnost" daného objektu. Spočítá se takto: Délka obvodu fraktálu K=NeD , měřítko s=1/N. Jestliže dosadíme za K=1, pak můžeme vyjádřit DH =log(N)/log(1/s).

Fraktální geometrie

Je samostatná vědní disciplína, která je intenzivně rozvíjena zhruba od šedesátých let minulého století. Za jejího objevitele je dnes považován matematik Benoit B. Mandelbrot, který jako první matematicky definoval pojem fraktál. I před zavedením pojmu fraktál a fraktální geometrie se vědci zabývali geometrickými útvary, které dnes nazýváme fraktály (např. sněhová vločka Kochové nebo Sierpinského kobereček). Protože velká část fraktálů je využívána v počítačové grafice a fraktály lze nejlépe popsat jako geometrické objekty, lze fraktál nejjednodušeji definovat jako nekonečně členitý útvar. Opakem nekonečně členitého útvaru je geometricky hladký útvar.

Chaos (determinstický)

Schopnost jednoduchých systémů bez zabudovaných nahodných prvků vykazovat vysoce nepředvídatelné a neuspořádané chování. Nechová se ovšem náhodně. Nemůžeme sice zjistit bez výpočtu stav systému v budoucnosti, ale pro stejné počáteční parametry se systém chová stejně. Ovšem i nepatrná změna parametrů (jiný počet desetinných míst) může ale také nemusí znamenat naprosto odlišné chování.viz. pojednání o chaosu

IFS

Iterační funkční systémy. Zatímco polynomické fraktály jsou definovány jednou rovnicí (pravidlem), IFS mohou vznikat na základě více pravidel. Přesto se jedná mnohdy o velice jednoduché útvary. Jejich konstrukce, která se provádí stochastickou cestou, se dá obecně popsat tak, že na nějaký počáteční bod aplikujeme transformační pravidla w1,w2, … wns určitou pravděpodobností. Součet pravděpodobností se rovná 1. Po jedné iteraci získáme nový počáteční bod či jejich soustavu a iterativně na nich aplikujeme onen soubor pravidel. Tento způsob se někdy nazývá chaotická hra. Pro dosažení kýženého výsledku musíme provést několik tisíc iterací, ale u některých fraktálů vidíme hrubý obrys výsledku už od prvních iterací. Příkladem může být Cantorovo mračno.

Kochova křivka

Jedná se o IFS fraktál. Počáteční bod představuje přímka. Tu rozdělíme na tři části, druhou vyjmeme. Vzniklu mezeru "zastřešíme rovnostranným trojůhelníkem.

L-Systémy

Skupina fraktálů, používaná při výzkumu přírody.Vznikají z počátečního nefraktálního symbolu na základě generátoru. viz. L-Systémy

Mandelbrotova množina (Mset)

Polynomický fraktál(TEA). Vzniká na základě rovnice z=z2+c, kde z i c jsou komplexní čísla, c je pozice bodu a z je iterovaná proměnná (dá se říci odkládací, temp proměná).

Nekonečně členité útvary

Pro snažší pochopení vyjděme z problému zkoumání délky ostrova. Ve velkém měřítku se nám jeví jako nějaké menší číslo. Se zvětšujícím se měřítkem (do výpočtu zahrnujeme stále nové a nové detaily) se délka zvětšuje a při dokonalé přesnosti dosáhne nekonečna. Nekonečně členitý útvar tedy zabírá v prostoru (rovině) poněkud více místa, než hladké útvary je "kostrbatý" a nekonečně dlouhý (pro vícerozměrné nekonečně objemný) Sierpinského trojúhelník Klasický IFS fraktál. Počáteční bod je trojúhelník a iterativně z jeho středu vyjímáme jeho čtvrtinu. Další možnost konstrukce se nazývá chaotická hra. viz IFS

Soběpodobnost

Kterákoliv část fraktálu je přesnou kopií původního motivu. Vyskytuje se jen u čistě matematických struktur, protože jednak jsme v přírodě omezeni velikostí částic (některé se zdají být nedělitelné) a dále těžko v přírodě vznikne takto dokonalý fraktál.

Soběpříbuznost

Je to určité zobecnění soběpodobnosti. Kterákoliv část fraktálu je velmi podobná, ne však zcela shodná s původním motivem

TEA

Skupina fraktálů. Ty vznikají na základě jednoho polynomu(rovnice). Jejich význam je především estetický či se dají využít pro zkoumání vlastností té konkrétní rovnice. Pro výzkum reálného světa nemají praktický význam.


Nahoru


Michal Hladik © 2006